✎☛ Raisonnement par contraposée

Propriété

Une implication P⇒ Q et sa contraposée (non Q)  ⇒  (non P) sont des propositions équivalentes.

Méthode

On veut démontrer une propriété qui est une implication P ⇒  Q.
Effectuer un raisonnement par contraposée, c'est démontrer l'implication (non Q)  ⇒  (non P).

Énoncé

Soit \(a\)  un entier naturel. Démontrer que si  \(a^2\) est pair, alors \(a\) est pair.

Solution

On effectue un raisonnement par contraposée : on suppose que \(a\) est impair et on démontre que  \(a^2\) est impair.
Comme   \(a\) est impair, il existe un entier \(k\) tel que \(a=2k+1\)
Donc \(a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1\) donc  \(a^2\) est impair.
Conclusion :   si  \(a^2\) est pair, alors \(a\) est pair.